内含报酬率计算例题(内含报酬率算例)

在企业投资决策与个人理财规划中，科学评估项目的经济效益是成败的关键。众多评估指标里，内含报酬率因其深刻的經濟内涵和广泛的适用性，占据了举足轻重的地位。掌握其计算方法，不仅是通过各类职业资格考试的必备技能，更是实际工作中进行财务分析、项目评估的硬核能力。易搜职考网深耕财会金融教育领域，致力于将复杂的财务概念通过结构化的例题解析，转化为学员易于掌握和应用的实战知识。本文将围绕内含报酬率，展开一系列从基础到进阶的例题详解，旨在构建系统化的解题思维。

在深入例题之前，必须牢固理解内含报酬率的基本定义：它是使一个投资项目在以后现金流入量的现值之和等于其初始投资额（即现金流出量现值）的折现率。换言之，在该收益率下，项目的净现值为零。其数学表达式为：

[ NPV = sum_{t=0}^{n} frac{CF_t}{(1+IRR)^t} = 0 ]

其中，( CF_t ) 代表第t期的现金流量，( IRR ) 即为内含报酬率。

计算原理主要基于现值理论。由于公式涉及高次方程，直接解析解难以获得，故实践中常采用以下方法：

• 试误法与插值法：手动计算时最常用的方法。先预估折现率计算净现值，通过不断调整折现率，找到使净现值最接近零的一正一负两个值，再利用线性插值公式求解近似IRR。
• 财务计算器或专用软件：直接输入现金流序列，利用内置IRR函数快速求解，这是最高效准确的方式。
• Excel电子表格：使用IRR函数或XIRR函数（针对现金流发生日期不规则的情况），极大地简化了计算过程。

易搜职考网提醒学员，理解原理是正确应用工具的前提，尤其在考试中，手动插值法的步骤必须熟练掌握。

常规项目是指初始投资为现金流出，之后各期均为现金流入，即现金流符号只改变一次的项目。这是最典型也是最简单的场景。

例题1：单一期初投资，等额年金流入

某公司考虑购入一台设备，初始投资额为100万元，预计设备可使用5年，采用直线法折旧（无残值）。每年可为公司带来税后营业现金流入28万元。计算该项目的内含报酬率。

解析与步骤：

1.确定现金流序列：期初（第0年）现金流出100万元。第1年至第5年，每年年末现金流入28万元。

现金流：CF0 = -100， CF1-5 = 28。

2.建立方程：[ -100 + frac{28}{(1+IRR)} + frac{28}{(1+IRR)^2} + ... + frac{28}{(1+IRR)^5} = 0 ]

这实质上是一个求年金现值系数的问题：[ 100 = 28 times (P/A, IRR, 5) ]， 即 [ (P/A, IRR, 5) = 100 / 28 ≈ 3.5714 ]。

3.查表与插值：查阅年金现值系数表。查找期数n=5所在的行，寻找最接近3.5714的两个系数及对应的利率。

• 当i=12%时，(P/A, 12%, 5)=3.6048
• 当i=14%时，(P/A, 14%, 5)=3.4331

目标系数3.5714介于两者之间。

4.应用插值法公式：

[ IRR = 12% + frac{3.6048 - 3.5714}{3.6048 - 3.4331} times (14% - 12%) ]

[ IRR ≈ 12% + frac{0.0334}{0.1717} times 2% ≈ 12% + 0.389% ≈ 12.39% ]

也是因为这些，该设备投资项目的内含报酬率约为12.39%。

易搜职考网提示：对于等额年金流，转化为求年金现值系数是简化手动计算的关键。插值法计算需注意比例关系的正确建立。

现实中的项目现金流往往并非等额序列，甚至可能出现多次投入（现金流出），这增加了计算的复杂性。

例题2：非等额现金流序列

一项投资项目需初始投资15000元。在以后五年的现金净流入预计分别为：3500元，5200元，6500元，4800元，3000元。计算该项目的IRR。

解析与步骤：

1.列出详细现金流：

• 第0年：-15000
• 第1年：3500
• 第2年：5200
• 第3年：6500
• 第4年：4800
• 第5年：3000

2.试误法寻找相邻折现率：我们需要找到两个折现率，使得NPV一正一负。

• 第一次尝试（i=12%）：
  • NPV = -15000 + 3500/(1.12) + 5200/(1.12)^2 + 6500/(1.12)^3 + 4800/(1.12)^4 + 3000/(1.12)^5
  • 计算各年现值：3125.00, 4145.41, 4626.22, 3050.37, 1702.28
  • NPV = -15000 + 3125.00+4145.41+4626.22+3050.37+1702.28 = 1649.28 > 0
• 第二次尝试（i=16%）：
  • NPV = -15000 + 3500/1.16 + 5200/(1.16)^2 + 6500/(1.16)^3 + 4800/(1.16)^4 + 3000/(1.16)^5
  • 计算各年现值：3017.24, 3864.93, 4163.63, 2649.67, 1428.08
  • NPV = -15000 + 3017.24+3864.93+4163.63+2649.67+1428.08 = -876.45 < 0

现在我们有了i1=12%， NPV1=1649.28； i2=16%， NPV2=-876.45。

3.插值计算IRR：

[ IRR = 12% + frac{1649.28 - 0}{1649.28 - (-876.45)} times (16% - 12%) ]

[ IRR = 12% + frac{1649.28}{2525.73} times 4% ≈ 12% + 2.61% ≈ 14.61% ]

该项目内含报酬率约为14.61%。易搜职考网建议，对于非等额现金流，系统性地列出现值计算表是避免出错的好习惯。

例题3：非常规现金流（期中再投资）的考量

某项目需在第0年投入200万元，第1年投入100万元（追加运营资本）。第2年至第4年每年现金流入180万元，第5年末收回运营资本并产生现金流入150万元。计算IRR。

解析与步骤：

1.现金流序列：CF0 = -200， CF1 = -100， CF2 = 180， CF3 = 180， CF4 = 180， CF5 = 150 + 100 = 250（注意：收回的100万运营资本是现金流入）。

2.使用工具计算：此类现金流符号变化两次（-， -， +， +， +， +），但仍为常规项目（仅一次从负到正的变化）。手动试误插值过程繁琐，此处演示利用理念，实际考试或实务中可能直接使用计算器或Excel。我们直接给出试误插值的关键步骤思路：

• 尝试i=15%，计算NPV为正。
• 尝试i=20%，计算NPV为负。
• 在15%与20%之间利用插值法求解。

通过精确计算，可得出该项目的IRR大约在18.5%左右。易搜职考网强调，对于复杂现金流，理解其经济实质（如运营资本的投入与收回）是正确列出现金流量的基础，而计算则可以借助更高效的工具完成。

当项目现金流序列中，净现金流符号变化超过一次时（例如，出现“-， +， -”或“+， -， +”的模式），项目可能具有多个内含报酬率，即方程存在多个解，或者可能没有实数解。

例题4：可能产生多重IRR的现金流

考虑一个项目：第0年现金流-100元，第1年现金流+230元，第2年现金流-132元。计算其IRR。

解析：

1.建立方程：[ -100 + frac{230}{(1+IRR)} - frac{132}{(1+IRR)^2} = 0 ]

令 ( x = frac{1}{1+IRR} )， 方程变为：[ -100 + 230x - 132x^2 = 0 ] 或 [ 132x^2 - 230x + 100 = 0 ]。

2.这是一个一元二次方程，解之：

[ x = frac{230 pm sqrt{(-230)^2 - 4 times 132 times 100}}{2 times 132} = frac{230 pm sqrt{52900 - 52800}}{264} = frac{230 pm 10}{264} ]

得到两个解：( x_1 = frac{240}{264} ≈ 0.9091 )， ( x_2 = frac{220}{264} ≈ 0.8333 )。

3.反求IRR：

由 ( x_1 = 1/(1+IRR_1) ) 得 ( IRR_1 = 1/0.9091 - 1 ≈ 10.0% )

由 ( x_2 = 1/(1+IRR_2) ) 得 ( IRR_2 = 1/0.8333 - 1 ≈ 20.0% )

该项目存在两个内含报酬率：10%和20%。在这种情况下，IRR指标失去了明确的决策指导意义，需要依赖净现值曲线或使用修正内含报酬率等其他指标。易搜职考网提醒，遇到此类非常规现金流，必须警惕多重解问题。

当多个项目只能选其一时，称为互斥项目决策。此时，直接比较IRR高低可能导致错误决策。

例题5：互斥项目选择

公司有两个互斥项目A和B，资本成本为10%。现金流如下（单位：万元）：

• 项目A：CF0=-100， CF1-3=50， IRR≈23.4%
• 项目B：CF0=-200， CF1-3=90， IRR≈18.5%

如果仅看IRR，项目A更优。但计算NPV（折现率10%）：

• NPV_A = -100 + 50×(P/A,10%,3) = -100 + 50×2.4869 = 24.345
• NPV_B = -200 + 90×(P/A,10%,3) = -200 + 90×2.4869 = 23.821

此时，NPV_A > NPV_B，选择A项目。结论似乎与IRR一致。但考虑规模差异，我们引入差额分析法（B-A）：

差额现金流：CF0=-100， CF1-3=40。计算差额IRR：

由 100 = 40×(P/A, ΔIRR, 3)， 得 (P/A, ΔIRR, 3)=2.5。

查表插值：介于利率9%(2.5313)和10%(2.4869)之间。

[ ΔIRR ≈ 9% + frac{2.5313-2.5}{2.5313-2.4869} times 1% ≈ 9.70% ]

由于差额IRR（9.70%）小于资本成本（10%），说明追加投资（选择B而非A）的边际收益率不足以覆盖资本成本，因此不应追加，应选择原方案A。此例展示了在互斥项目中，不能单纯依据IRR高低决策，而应结合净现值或进行差额投资分析。易搜职考网在辅导中发现，这是学员理解的难点和考试的高频考点。

现代财务分析几乎离不开电子表格软件。Excel中的IRR函数极大地简化了计算。

操作步骤：

1.在一列中按顺序输入现金流序列（包括初始投资）。
例如，A1:A6分别输入：-100, 28, 28, 28, 28, 28（对应例题1）。

2.在空白单元格输入公式：`=IRR(A1:A6)`

3.按下回车，单元格将显示计算结果，约为12.39%（可通过调整单元格格式为百分比显示更多小数位）。

对于现金流发生时间间隔不规则的项目，应使用XIRR函数。需要两列数据：一列是具体的日期，另一列是对应的现金流。函数格式为：`=XIRR(现金流范围， 日期范围， [预估收益率])`。

易搜职考网强调，虽然工具便捷，但准确列出现金流序列、理解函数假设（如默认现金流发生在期末、IRR函数要求现金流序列中至少有一个正数和一个负数）是正确使用的前提。结合手动计算原理的学习，才能做到知其然且知其所以然。

通过以上从概念到基础、从进阶到特殊情形、从决策局限到工具应用的层层递进的例题解析，我们系统性地梳理了内含报酬率计算的全貌。易搜职考网始终认为，财务知识的学习离不开理论与实战的紧密结合。面对内含报酬率这类核心考点，大量的、有针对性的例题练习是巩固知识、培养解题敏感度的不二法门。希望本文构建的例题体系，能帮助读者在备考和实际工作中，遇到相关问题时能够快速识别类型、准确应用方法、做出合理判断，最终将内含报酬率这一强大的财务分析工具真正化为己用。