关键路径法例题(关键路径计算)

在项目管理的知识体系中，关键路径法占据着无可替代的核心地位。它是一种基于网络图的进度规划技术，旨在确定项目中哪些活动的进度安排灵活性最小，即关键活动，这些活动组成的路径便是关键路径。这条路径的总持续时间决定了项目的最短可能工期。任何关键活动的延误都将直接导致项目完工时间的推迟。
也是因为这些，熟练掌握CPM，不仅是通过各类职业资格考试（如PMP、软考）的必备技能，更是项目经理在实际工作中进行科学决策、优化资源、控制风险的利器。易搜职考网结合多年的教学与研究经验，深知理论学习必须与实战例题相结合，下面我们将通过一个由浅入深的综合性例题，来全面解析关键路径法的应用过程。

一、 例题背景与基础数据定义

假设某公司计划开发一款新型智能家居设备（项目代号：SmartHome V2.0）。项目经理已经完成了工作分解结构（WBS），并识别出了该项目核心的硬件开发与集成阶段的主要活动。经过与团队成员的估算，确定了各项活动的逻辑关系及其持续时间（单位：天）。

具体活动清单如下：

• 活动A：硬件方案设计。持续时间：5天。紧前活动：无。
• 活动B：核心电路板设计。持续时间：8天。紧前活动：A。
• 活动C：外壳结构设计。持续时间：4天。紧前活动：A。
• 活动D：传感器选型与采购。持续时间：7天。紧前活动：A。
• 活动E：电路板打样与测试。持续时间：6天。紧前活动：B。
• 活动F：外壳模具开发。持续时间：10天。紧前活动：C。
• 活动G：传感器接口开发。持续时间：3天。紧前活动：D。
• 活动H：硬件集成与第一轮联调。持续时间：5天。紧前活动：E, F, G。

我们的目标是：绘制该项目的网络图，计算所有时间参数，确定关键路径与项目总工期，并分析非关键活动的时差。

二、 单代号网络图绘制与正向计算（求ES、EF）

我们采用单代号网络图（节点表示活动）来描绘该项目。绘制时，遵循活动间的逻辑关系。

正向计算是从项目起点开始，从左至右，依次计算每个活动的最早开始时间（ES）和最早结束时间（EF）。规则是：

• 起始活动的ES为0。
• EF = ES + 活动持续时间（Dur）。
• 后续活动的ES等于其所有紧前活动中最大的EF。

我们为每个活动节点设置如下格式：【活动代号 | ES | EF】。

计算过程：

• 活动A：ES_A = 0， EF_A = 0 + 5 = 5。 节点：【A | 0 | 5】
• 活动B：紧前A。ES_B = EF_A = 5， EF_B = 5 + 8 = 13。节点：【B | 5 | 13】
• 活动C：紧前A。ES_C = EF_A = 5， EF_C = 5 + 4 = 9。节点：【C | 5 | 9】
• 活动D：紧前A。ES_D = EF_A = 5， EF_D = 5 + 7 = 12。节点：【D | 5 | 12】
• 活动E：紧前B。ES_E = EF_B = 13， EF_E = 13 + 6 = 19。节点：【E | 13 | 19】
• 活动F：紧前C。ES_F = EF_C = 9， EF_F = 9 + 10 = 19。节点：【F | 9 | 19】
• 活动G：紧前D。ES_G = EF_D = 12， EF_G = 12 + 3 = 15。节点：【G | 12 | 15】
• 活动H：紧前E, F, G。ES_H = Max(EF_E, EF_F, EF_G) = Max(19, 19, 15) = 19， EF_H = 19 + 5 = 24。节点：【H | 19 | 24】

至此，正向计算完成。项目的最早结束时间为24天，即在不延误任何活动的情况下，项目最短需要24天完成。

三、 反向计算与时间参数确定（求LS、LF、TF、FF）

反向计算是从项目终点开始，从右至左，依次计算每个活动的最晚结束时间（LF）和最晚开始时间（LS）。规则是：

• 终点活动的LF等于其EF（或规定的项目工期），LS = LF - Dur。
• 前导活动的LF等于其所有紧后活动中最小的LS。

计算过程：

• 活动H：LF_H = EF_H = 24， LS_H = 24 - 5 = 19。
• 活动E：紧后H。LF_E = LS_H = 19， LS_E = 19 - 6 = 13。
• 活动F：紧后H。LF_F = LS_H = 19， LS_F = 19 - 10 = 9。
• 活动G：紧后H。LF_G = LS_H = 19， LS_G = 19 - 3 = 16。
• 活动B：紧后E。LF_B = LS_E = 13， LS_B = 13 - 8 = 5。
• 活动C：紧后F。LF_C = LS_F = 9， LS_C = 9 - 4 = 5。
• 活动D：紧后G。LF_D = LS_G = 16， LS_D = 16 - 7 = 9。
• 活动A：紧后B, C, D。LF_A = Min(LS_B, LS_C, LS_D) = Min(5, 5, 9) = 5， LS_A = 5 - 5 = 0。

在得到ES, EF, LS, LF的基础上，我们可以计算两个核心的时差参数：

• 总时差（TF）：指在不影响项目总工期的前提下，该活动可以延误的最大时间。TF = LS - ES = LF - EF。
• 自由时差（FF）：指在不影响其所有紧后活动最早开始时间的前提下，该活动可以延误的最大时间。FF = Min(紧后活动的ES) - 本活动的EF。

现在我们计算各活动的TF和FF：

• 活动A：TF = 0 - 0 = 0， FF = Min(5,5,5) - 5 = 5 - 5 = 0。
• 活动B：TF = 5 - 5 = 0， FF = 13 - 13 = 0。
• 活动C：TF = 5 - 5 = 0， FF = 9 - 9 = 0。
• 活动D：TF = 9 - 5 = 4， FF = 12 - 12 = 0？这里需注意：活动D的EF为12，其唯一紧后活动G的ES为12，所以FF_D = 12 - 12 = 0。虽然TF为4，但延误一旦发生就会影响G的最早开始。
• 活动E：TF = 13 - 13 = 0， FF = 19 - 19 = 0。
• 活动F：TF = 9 - 9 = 0， FF = 19 - 19 = 0。
• 活动G：TF = 16 - 12 = 4， FF = 19 - 15 = 4。（因为G的EF=15，紧后活动H的ES=19）
• 活动H：TF = 19 - 19 = 0， FF = 项目结束，通常视为0。

将所有信息整合到活动节点中，格式变为：【活动代号 | ES， EF | LS， LF | TF， FF】。

四、 关键路径识别与项目工期分析

根据计算，总时差（TF）为0的活动称为关键活动。在本例题中，TF=0的活动有：A, B, C, E, F, H。

这些活动构成的路径有两条需要验证：

• 路径1：A -> B -> E -> H。持续时间：5 + 8 + 6 + 5 = 24天。
• 路径2：A -> C -> F -> H。持续时间：5 + 4 + 10 + 5 = 24天。

两条路径的持续时间均为24天，且都等于项目总工期。
也是因为这些，本项目存在两条关键路径：A-B-E-H和A-C-F-H。这是一个非常重要的发现，意味着项目的进度风险更高，因为两条路径上的任何活动发生延误，都会直接导致项目延期。活动D和G是非关键活动，它们拥有总时差。

项目总工期为24天。易搜职考网提醒，在实际考试或应用中，识别多条关键路径是常见的难点和重点。

五、 时差分析与项目管理启示

基于上述计算，我们可以进行深入的时差分析：

• 活动D（传感器选型与采购）：总时差为4天，自由时差为0。这意味着，虽然活动D可以延迟最多4天而不影响项目最终在24天完成（TF=4），但只要它一发生延迟，就会立刻影响其紧后活动G的最早开始（FF=0）。项目经理在监控时，对于此类TF>0但FF=0的活动需保持关注。
• 活动G（传感器接口开发）：总时差和自由时差均为4天。这意味着活动G不仅有4天的延迟缓冲不影响总工期，而且这4天的延迟也不会影响其紧后活动H的最早开始。它是灵活性最大的活动。

管理启示：

1. 资源优化：由于活动D和G存在时差，项目经理可以考虑将部分资源（如资深工程师）从这些非关键活动临时调配到关键活动B、C、E或F上，以缓解关键路径上的资源压力，甚至可能通过增加关键活动资源来缩短工期（赶工）。
2. 风险监控重点：必须严格监控两条关键路径上的所有活动（A, B, C, E, F, H）。对于活动D，虽然不在关键路径上，但由于其自由时差为0，也需要密切跟踪，防止其延误产生连锁反应。
3. 进度压缩考量：如果客户要求将项目工期从24天缩短到20天，项目经理需要分析压缩哪条或哪些关键活动。由于存在两条关键路径，可能需要同时压缩两条路径上的活动，成本更高。
   例如，单独压缩路径A-B-E-H上的活动，路径A-C-F-H仍然是24天，总工期不变。必须同时分析两条路径的压缩可能性和成本。

六、 进阶情景：应对不确定性（三点估算）

在更复杂的场景中，活动持续时间可能是不确定的。易搜职考网的研究表明，此时需要将关键路径法与PERT（计划评审技术）结合。假设我们对活动F（外壳模具开发）的工期进行三点估算：乐观时间（O）= 7天，最可能时间（M）= 10天，悲观时间（P）= 19天。

则活动F的期望工期 Te = (O + 4M + P) / 6 = (7 + 410 + 19) / 6 = 66 / 6 = 11天。 标准差 σ = (P - O) / 6 = (19 - 7) / 6 = 2天。

如果使用期望工期，则路径A-C-F-H的持续时间变为：5 + 4 + 11 + 5 = 25天，长于路径A-B-E-H的24天。此时关键路径仅剩一条：A-C-F-H，项目总工期变为25天。所有时间参数需要重新计算。

更进一步，我们可以计算项目在某一日期前完工的概率。
例如，问项目在27天内完工的概率是多少？这需要计算项目总工期的标准差（通常是关键路径上各活动方差之和的平方根），然后查找标准正态分布表。这体现了CPM在风险管理中的延伸应用。

七、 例题的实践延伸与软件工具

在现代项目管理中，手工计算复杂的网络图已不常见，但理解其原理是使用专业软件（如Microsoft Project, Primavera P6）的基础。将这些活动数据输入软件，可以自动生成甘特图、计算关键路径并动态跟踪进度。

例如，在软件中设置好活动、历时和依赖关系后，软件会自动高亮显示关键路径。当我们将活动D的持续时间从7天修改为10天（延迟3天，仍小于其TF=4），软件会显示总工期不变，但活动D的TF减少为1天，活动G的TF减少为1天。如果延迟达到5天（超过TF），软件会立即显示关键路径可能发生变化，项目总工期延长。这种可视化交互，正是建立在扎实的CPM原理理解之上。

通过易搜职考网提供的此类层层递进、结合理论与场景的例题训练，学员能够牢固掌握从基础计算到进阶分析的全部技能，从而在考试和实际工作中游刃有余。关键路径法不仅是一个计算工具，更是一种系统思考项目进度、识别风险、优化资源的思维方式。持续的例题研习与模拟，是掌握这门艺术的不二法门。